Лабораторная работа на тему Решение уравнений, неравенств и их систем

Лабораторная Работа

На тему: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ.

Москва, 2008 год


РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

Цели работы:

знать команды, используемые при решении уравнений и их систем, неравенств и их систем в системе аналитических вычислений Maple;

уметь применять указанные команды для решения математических задач.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Введение

Система аналитических вычислений Maple обладает возможностью решения алгебраических уравнений, неравенств и их систем как в аналитическом так и в численном виде. Для начала несколько подробнее остановимся на самих уравнениях и неравенствах.

Два выражения, соединенные знаком равенства (=), представляют самостоятельный тип данных Maple - уравнение(equation). Уравнения можно присваивать обычным переменным Maple, с уравнениями можно осуществлять преобразования, используя обычные арифметические действия, которые выполняются отдельно для левой и правой частей уравнений. Эти действия позволяют преобразовать уравнения к виду, удобному для использования, а иногда и облегчающему Maple поиск решения. Некоторые преобразования, которые можно осуществлять с уравнениями в системе Maple, приведены в примере 1.

Пример 1. Допустимые операции с уравнениями.

> 3*x^3+7=2*x+x^5;

> whattype(%);

> d:=3*x^3+7=2*x+x^5;

> whattype(d);

> d-(x^4=x^4);

> d+(x^4=x^4);

При проверке типа переменной, значением которой является уравнение, с помощью команды whattype () результатом является равенство =, означающее, что тип проверяемой переменной является уравнением.

Как и при задании уравнений два выражения, соединенные знаками >=(больше или равно), (больше) или (меньше), представляют новый тип - неравенство (inequation).

Пример 2. Неравенства.

> a whattype(%);

> d:=a>b;

> whattype(d);

> d-(h>4);

> d-(h solve({a},x);

> a1:=2*x+y=0;

> solve({a,a1},{x,y});

> solve(a1);

В некоторых случаях команда solve() возвращает пустую последовательность NULL. Это означает, что решения или не существует, или Maple не удалось его найти. Если не удалось найти все решения, то глобальная переменная _SolutionsMayBeLost устанавливается равной true.

Последнее уравнение из примера 3. решалось без указания переменной, относительно которой следовало бы решать уравнение. Maple решил их относительно всех неизвестных величин, входящих в уравнение. Причем он выбрал неизвестную х в качестве параметра (х = х), а неизвестную переменную у выразил через введенный параметр х. Чтобы получить решение, следует параметру х присвоить произвольное значение, тогда значение неизвестной у будет определено однозначно.

В общем случае полиномиальное уравнение степени выше 4 может не иметь решения, выраженного с помощью радикалов. В этом случае для представления результатов Maple использует специальную функцию RootOf(), которая применяется для обозначения любого корня выражения, заданного в качестве ее параметра:

> eq:=x^5+x^4+x^3+8=0;

> d:=solve(eq,x);

> evalf(d[1));

> solve(x=-2*cos(x));

В этом примере функция RootOf (_Z + 2 cos(_Z)) представляет любое решение уравнения _Z + 2 cos(_Z) =0. Переменная _Z это системная переменная, сгенерированная Maple, которая всего лишь заменяет переменную х нашего уравнения. Опция index со значением, равным целому числу, служит для нумерации и упорядочивания корней уравнения. Заметим, что с помощью функции evalf ( ) можно получить приближенные числовые значения функции RootOf.

С помощью команды solve() можно решать и тригонометрические

уравнения. По умолчанию Maple решает их на промежутке [p, p). Для получения всех решений тригонометрических уравнений следует задать значение глобальной переменной _EnvAllSolutions равным true. Использование глобальной переменной _EnvAllSolutions показано на следующем примере:

> b:=sin(x)^2-2*sin(x)-1=0;

> s:=solve(b,x);

> _EnvAllSolutions:=true;

> s:=solve(b,x);

> about(_Z1);

Originally _Z1, renamed _Z1~:

is assumed to be: integer

> about(_B1);

Originally _B1, renamed _B1~:

is assumed to be: OrProp(0,1)

Как видно, в случае _EnvAllSolutions:=true Maple действительно строит все решения тригонометрического уравнения с использованием целочисленной системной переменной _Z1~. Знак тильда (~) означает, что на значения переменной наложены некоторые ограничения. В данном случае эта переменная может принимать только целочисленные значения. (В этом можно убедиться, выполнив команду about(_Z1).) Подобные переменные используются Maple для представления всех решений тригонометрических уравнений. Префикс _Zв имени переменной, сгенерированной Марlе, служит указанием того, что эта переменная может принимать только целые значения. Кроме указанных переменных также используются переменные с префиксом _NN, принимающие неотрицательные целые значения, и префиксом _B, для представления переменных с двоичной областью значении (0 или 1).

Для систем аналитических вычислений решение любого трансцендентного уравнения, в том числе и тригонометрического, достаточно сложная и серьезная проблема. Бывает, что простое трансцендентное уравнение может и не решаться в Maple. Здесь следует помнить о том, что Maple использует алгоритмический подход для решения уравнений, и, возможно, ему следует помочь, сделав кое-какие не стандартные преобразования уравнения, приведя его к другому виду.

Обычно, решив уравнение или систему уравнений, мы осуществляем проверку полученного решения, подставляя его в исходное уравнение или систему. Точно также следует поступать и при работе в Maple. Для проверки решений можно использовать функцию eval( ):

> fs:={x+2*y=3,y+1/x=2};

> answ:=solve(fs,{x,y});

> eval(fs,answ[1));

> eval(fs,answ[2));

Из примера видно, что последовательность множеств, представляющих два полученных решения, сохранена в переменной answ. Для проверки правильности полученных решений, подставляем эти решения в исходную систему и вычисляем полученные выражения с помощью команды eval(). В результате вычисления системы уравнений на двух полученных решениях мы получили тождества, что говорит о правильности наших решений. Если для дальнейших вычислений необходимо иметь значения первого решения в виде отдельных переменных, то той же самой командой eval () можно извлечь их, вычислив, соответственно, неизвестную х и у на первом решении:

> x1:=eval(x,answ[1));

> y1:=eval(y,answ[1));

Для проверки решения можно использовать функцию mар() вместе с функцией subs(), которая за одну операцию проверит все решения. Это удобно, когда решений очень много и для каждого из них пришлось бы выполнять команду eval(), если использовать предыдущий подход. Для решения нашей системы вызов команды mар() выглядит так:

> map(subs,[answ),fs);

Команда solve () может решать неопределенные системы уравнений, в которых количество уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае система Maple сама решает, какие из неизвестных принять за параметры, а какие за неизвестные, относительно которых следует строить решение:

> fs1:=x+3*y+4*z+5*t=50;

> fs2:=3*x+3*y+2*z+t=30;

> answ1:=solve({fs1,fs1});

Здесь решение получено в параметрической форме относительно неизвестных y, t и z, которые выбраны системой. Можно явно указать, относительно каких неизвестных следует решать систему уравнений, тогда оставшиеся будут рассматриваться как параметры:


> answ2:=solve({fs1,fs1},{y,z});

В этом решении явно указаны неизвестные у и z, и полученное решение зависит от двух параметров х и t.

С помощью функции eval () можно вычислить значения решения при конкретных значениях параметров:

> eval(answ2,{x=1,z=1,t=1});

Бывает, что при решении систем уравнений ответ получается в виде множества уравнений, в которых левая часть является неизвестной переменной. Чтобы присвоить найденные значения переменным, относительно которых решалась система, следует применять команду assign(). Эта команда присваивает переменным, стоящим в левой части уравнений из множества решений, значения, равные правым частям. Можно сказать, что эта команда заменяет знак равенства (=) на знак операции присваивания (:=) во множестве, состоящем из уравнений, в которых левые части представлены неизвестными:

> {q=a+b,w=g+p};

> assign(%);q;w;

> eq:=x*a+y*b=c;

> s:=solve({eq,x+y=1},{x,y});

> assign(s);x;y;

Если решение получено в виде последовательности выражений, то получить значение соответствующего решения можно с помощью индекса.

> fs:=y^4+2*y^2+2=0;

> d:=solve(fs);

> y1:=d[1);y1;

Напомним, что в приведенном примере Iозначает комплексную мнимую единицу, равную .

3. Команда: fsolve ( )

По умолчанию Maple пытается найти аналитическое выражение для корней уравнения. Если это не удается, то, как отмечалось выше, в области вывода ничего не печатается. В подобных случаях (если корни действительно существуют) можно воспользоваться командой fsolve(), которая находит численное решение уравнения или системы уравнений. Формат команды отличается от формата команды solve() наличием третьего параметра опция:

fsolve (уравнения, переменные, опция);

Задание первых двух параметров соответствует заданию аналогичных параметров в командеsolve(), а параметр опция может принимать значения из таблицы 1.

Таблица 1. Значения параметра опцuя команды fsolve ( )

Значение

Похожие рефераты:

Курсовая работа на тему Розвиток сучасних структур програмного забезпечення Реферат на тему Середовище навчання Moodle. Його переваги та недоліки Курсовая работа на тему Система баз данных MS SQL Server 2000 Реферат на тему Система непрерывной подачи чернил Курсовая работа на тему Система съема данных с оптопар Доклад: Сканеры и принтеры, сфера их применения Курсовая работа на тему Современные информационные системы управления государством Реферат на тему Современный уровень развития переносной флэш-памяти и USB-брелков Курсовая работа на тему Создание базы данных "Аттестация сотрудников" Контрольная работа на тему Создание презентации Курсовая работа на тему Спортивная программа и организация базы данных Курсовая работа на тему Суперэлементное моделирование пространственной системы "плита грунтовое основание" Курсовая работа на тему Сутність та принципи роботи ЕОМ Курсовая работа на тему Сучасне інтерактивне спілкування Реферат на тему Сучасний стан інформаційної безпеки. Проблеми захисту комп'ютерної інформації Реферат на тему Сучасні антивірусні програми та принцип їх роботи Реферат на тему Сучасні комп'ютерні технології Курсовая работа на тему Сучасні операційні системи, архітектура, відмінні характеристики, функціональність, виробництво і перспективи розвитку Реферат на тему Сучасні програмні продукти для управління маркетинговою діяльністю Контрольная работа на тему Сучасні системи автоматизованого проектування графічних проектів Реферат на тему Сущность алгоритмов Контрольная работа на тему Сущность защиты информации Реферат на тему Сущность искусственного интеллекта Курсовая работа на тему Схема електрична принципова модуля на базі 8-розрядного мікропроцесора Контрольная работа на тему Схема контроллера Реферат на тему Схема радиомодема Реферат на тему Схемы шифрования AES, RC4, RC5, RC6, Twofish, Mars Курсовая работа на тему Счетчик обратного отсчета Курсовая работа на тему Технологии компьютерных игр Реферат на тему Функции и возможности текстового редактора Дипломная работа на тему Функціонування системи інформаційного обслуговування користувачів бібліотек у сучасних умовах Реферат на тему Характеристика качества ПО "практичность" Курсовая работа на тему Цвет и графика на ЭВМ Реферат на тему Что такое компьютерная сеть. Виды сетей Контрольная работа на тему Экономические информационные системы Дипломная работа на тему Электронная почта Курсовая работа на тему Язык программирования высокого уровня С++ Курсовая работа на тему Языки программирования Контрольная работа на тему Установка и настройка программного обеспечения локальной сети Курсовая работа на тему Датчики скорости коррозии как элементы АСУ общей системы мониторинга Курсовая работа на тему Динамическое формирование и преобразование списков и структур Шпаргалка: Дискретная техника Реферат на тему Устройство персонального компьютера Курсовая работа на тему Устройство управления системой измерения веса Контрольная работа на тему Утилиты, буфер обмена, автоформат MS Excel Доклад: Файловая система для операционной системы Windows Лабораторная работа на тему Дослідження файлової структури Курсовая работа на тему Економічні задачі лінійного програмування і методи їх вирішення Курсовая работа на тему Емпіричне дослідження програмного забезпечення Курсовая работа на тему Автоматизация системы управления холодильной установкой Курсовая работа на тему Автоматизированная система управления климатом в тепличных хозяйствах Реферат на тему Автомобильная электроника Курсовая работа на тему Анализ доходов отдела фирмы, занимающейся розничной торговлей офисной мебелью Курсовая работа на тему База данных "Магазин по продаже дисков" Курсовая работа на тему Безпровідна мережа Wi-Fi, її будування Контрольная работа на тему Компьютерная графика Реферат на тему Компьютерная графика Контрольная работа на тему Компьютерная графика Реферат на тему Компьютерная графика и решаемые ею задачи Курсовая работа на тему Компьютерная лингвистика Дипломная работа на тему Компьютерная модель СГ в координатах d, q, 0 в режиме ХХ Курсовая работа на тему Назначение и возможности 3d's МАХ 9.0 Реферат на тему Назначение и основные функции электронных таблиц Лабораторная работа на тему Настройка ОС Windows Контрольная работа на тему Методы информационных технологий в делопроизводстве Учебное пособие: Методы исследования операций Курсовая работа на тему Применение пакетов прикладных программ в экономике Контрольная работа на тему Применение программы Ехсеl для определения заработка водителей такси Курсовая работа на тему Применение симплекс-метода Курсовая работа на тему Проблемы документационного обеспечения управления и использования электронной цифровой подписи Контрольная работа на тему Проблемы защиты информации Курсовая работа на тему Проблемы защиты информации в компьютерных сетях Дипломная работа на тему Проблемы и перспективы развития федеральной целевой программы "Электронная Россия" Контрольная работа на тему Проблемы искусственного интеллекта Реферат на тему Проблемы обеспечения безопасности информации в сети интернет Курсовая работа на тему Проблемы развития информационных технологий в республике Беларусь Реферат на тему Проблемы совершенствования качества выпускаемого программного обеспечения Реферат на тему Проблемы создания искусственного интеллекта Курсовая работа на тему Проблемы социальной информатики Курсовая работа на тему Прогнозирование количественными методами Курсовая работа на тему Програма "Screen Saver" (зберігач екрану) Курсовая работа на тему Програма візуальної демонстрації пошуку елементів у масиві Курсовая работа на тему Програма для анімації музичних творів Курсовая работа на тему Програма для перегляду великих текстових файлів, розмір яких більший за 64 кілобайти Дипломная работа на тему Програма для роботи з файловою системою Курсовая работа на тему Програма для сортування даних методом піраміди Курсовая работа на тему Програма для тестування знань з дисципліни "Програмування на мові С" Курсовая работа на тему Програма емуляції роботи командного процесора операційної системи Статья: Практичний розрахунок ефективності системи електронного документообігу Курсовая работа на тему Практичні аспекти створення програмного забезпечення Лабораторная работа на тему Программа "Учет выдачи и возврата книг" Реферат на тему Проектирование информационных систем Лабораторная работа на тему Символьные вычисления Контрольная работа на тему Система управления проектами Spider Учебное пособие: Системи автоматизованого проектування Учебное пособие: Системи автоматизованого проектування Реферат на тему Системи і методи виявлення вторгнень у компютерні системи Реферат на тему Системы телеобучения Реферат на тему Системы управления базами данных Курсовая работа на тему Системы управления обучения (LMS)